W1. Согласованность линейных систем, ступенчатые формы строк, структура решений

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

29 января 2026 г.

1. Краткое содержание

1.1 Введение: о чём модуль

Мы разберём, как систематически решать системы линейных уравнений и понимать, когда решение существует, единственно или образует бесконечное семейство. Малые системы (\(2 \times 2\), \(3 \times 3\)) вы уже решали; здесь важны большие размеры: что если уравнений больше, чем неизвестных, или наоборот? что если часть уравнений избыточна?

Главные вопросы:

  • Существует ли решение? (Система consistent — согласована?)
  • Если да — единственно ли оно? (Или решений бесконечно много?)
  • Как найти все решения эффективно? (С помощью elimination — последовательного исключения)

Ключевой инструмент: элементарные преобразования строк (row operations) приводят систему к простым формам REF (ступенчатый вид) и RREF (приведённый ступенчатый вид), из которых решение легко «считывается». Ранг (rank) матрицы коэффициентов описывает структуру решений.

1.2 Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений (linear system of equations) — это \(m\) линейных уравнений с \(n\) неизвестными. В общем виде:

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

Компактно в матричной форме (matrix form): \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), где:

  • \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) — матрица коэффициентов (coefficient matrix) (только коэффициенты при неизвестных)
  • \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) — столбец неизвестных
  • \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\) — столбец правых частей

Расширенная матрица (augmented matrix) \([A|\mathbf{b}]\) получается дописыванием столбца \(\mathbf{b}\) к \(A\):

\[ [A|\mathbf{b}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix} \]

Именно с расширенной матрицей работаем при исключении неизвестных.

1.3 Согласованность и несогласованность

Система \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) согласована (consistent), если есть хотя бы одно решение. Геометрически: прямые, плоскости или гиперплоскости имеют непустое пересечение.

Столбцовая интерпретация \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\): если \(A = [\mathbf{a}_1 \; \mathbf{a}_2 \; \cdots \; \mathbf{a}_n]\), то

\[ x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b} \]

мы ищем, представим ли \(\mathbf{b}\) как линейную комбинацию столбцов \(A\). Множество таких комбинаций — столбцовое пространство (column space) \(\text{Col}(A)\). Система согласована тогда и только тогда, когда \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\).

Система несогласованна (inconsistent), если решений нет. Например, две параллельные прямые на плоскости не пересекаются:

\[ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} \]

это несогласованная система.

1.4 Ранг матрицы

Ранг (rank) матрицы \(A\), обозначение \(\text{rank}(A)\), — максимальное число линейно независимых строк (эквивалентно — столбцов).

Линейная независимость: ни один вектор набора нельзя выразить через остальные. Строки \([1, 2]\) и \([2, 4]\) зависимы (вторая — удвоенная первая); \([1, 2]\) и \([1, 3]\) независимы.

Как считать ранг: привести \(A\) к ступенчатому виду по строкам (REF) и посчитать позиции главных элементов (pivot positions) — ведущие ненулевые элементы строк; их число равно рангу.

Зачем ранг:

  • сколько «по-настоящему разных» уравнений (без избыточных)
  • размерность пространства решений однородной системы
  • согласованность: сравнение \(\text{rank}(A)\) и \(\text{rank}([A|\mathbf{b}])\)

Свойства:

  • \(\text{rank}(A) \le \min(m, n)\)
  • \(\text{rank}(A) = \dim(\text{Col}(A)) = \dim(\text{Row}(A))\)
  • элементарные преобразования строк не меняют ранг
1.5 Теорема о согласованности (теорема Руше — Капелли)

Центральный критерий существования решений.

Теорема 1. Система \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) согласована тогда и только тогда, когда

\[ \text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) \]

Идея: если \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\), добавление столбца \(\mathbf{b}\) не увеличивает размерность столбцового пространства — ранг не меняется; если \(\mathbf{b} \notin \text{Col}(A)\), появляется новое направление и \(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) = \text{rank}(A) + 1\).

Набросок доказательства. \(A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n]\). Согласованность \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + \dots + x_n\mathbf{a}_n\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\). Отсюда равенство рангов. Обратно, из равенства рангов следует \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\). \(\square\)

Через строки: если \(\text{rank}([A|\mathbf{b}]) > \text{rank}(A)\), в REF появится строка \([0 \; \cdots \; 0 \;|\; c]\), \(c \neq 0\), то есть уравнение \(0 = c\).

1.6 Классификация решений

Теорема 2. Для \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) с \(n\) неизвестными, \(r_A = \text{rank}(A)\), \(r_{[A|\mathbf{b}]} = \text{rank}([A|\mathbf{b}])\):

  1. Нет решений (несогласованность): \(r_A < r_{[A|\mathbf{b}]}\)
  2. Единственное решение: \(r_A = r_{[A|\mathbf{b}]} = n\)
  3. Бесконечно много решений: \(r_A = r_{[A|\mathbf{b}]} < n\)

Опираемся на теорему о ранге и дефекте (Rank–Nullity Theorem):

\[ \text{rank}(A) + \dim(\text{Null}(A)) = n \]

число базисных (pivot) столбцов + число свободных неизвестных \(= n\), то есть \(\dim(\text{Null}(A)) = n - \text{rank}(A)\).

Три случая:

  • 1: \(r_A < r_{[A|\mathbf{b}]}\) — \(\mathbf{b}\) вынес из \(\text{Col}(A)\), решений нет.
  • 2: \(r_A = r_{[A|\mathbf{b}]} = n\) — \(\dim\text{Null}(A)=0\), свободных нет, решение единственно (если система согласована).
  • 3: \(r_A = r_{[A|\mathbf{b}]} < n\) — есть \(n-r_A\) свободных переменных; \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h\), \(\mathbf{x}_h \in \text{Null}(A)\).
1.6.1 Частные случаи

Однородные системы \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) всегда согласованы (\(\mathbf{0}\) — решение):

  • только тривиальное решение, если \(\text{rank}(A) = n\)
  • бесконечно много нетривиальных, если \(\text{rank}(A) < n\)

Квадратные системы (\(m = n\)):

  • для любого \(\mathbf{b}\) единственное решение \(\Leftrightarrow\) \(\det(A) \neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank}(A) = n\)
  • при \(\det(A) = 0\) — либо несогласованность, либо бесконечно много решений
1.7 Геометрическая интерпретация

Уравнение \(a_1x_1 + \dots + a_nx_n = b\) (не все \(a_i\) нули) задаёт гиперплоскость (hyperplane) в \(\mathbb{R}^n\) размерности \(n-1\).

Размерность: число независимых направлений в подпространстве; прямая — \(1\), плоскость — \(2\), в \(\mathbb{R}^3\) гиперплоскость — обычная плоскость.

Множество решений системы — пересечение гиперплоскостей:

  • единственная точка — единственное решение
  • общая прямая/плоскость/плоскость большей размерности — бесконечно много решений
  • пустое пересечение — нет решений (например, параллельные плоскости)
1.8 Ступенчатый вид по строкам (REF)

Матрица в REF (Row Echelon Form) («лестничный» вид), если:

  1. нулевые строки внизу
  2. ведущий элемент (pivot) каждой ненулевой строки правее pivot строки выше
  3. под каждым pivot — нули

Пример:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 0 & 4 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Pivots: \(2\), \(4\), \(1\) (столбцы 1, 2, 4). В REF pivot не обязан быть \(1\).

Базисные и свободные столбцы: столбцы с pivot — базисные неизвестные (basic / pivot variables); без pivot — свободные (free variables) — параметры. Если это расширенная матрица для \(x_1,\dots,x_4\), то \(x_1,x_2,x_4\) базисные, \(x_3\) свободная.

1.9 Приведённый ступенчатый вид (RREF)

RREF (Reduced Row Echelon Form) — каноническая форма:

  1. матрица в REF
  2. каждый pivot равен \(1\)
  3. в столбце pivot все прочие элементы \(0\)

Пример:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Отличие от REF: в RREF значения неизвестных (или выражения через свободные) сразу видны без обратной подстановки.

1.10 Схема решения \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)
  1. записать \([A|\mathbf{b}]\)
  2. метод Гаусса (Gaussian elimination) — элементарные преобразования строк до REF или RREF
  3. выделить pivot- и свободные столбцы
  4. проверка: строка \([0 \cdots 0 \mid c]\), \(c\neq 0\) ⇒ несогласованность
  5. частное решение \(\mathbf{x}_p\): свободные \(=0\)
  6. однородная часть \(\mathbf{x}_h\): решение \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)
  7. полное решение: \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h\)

Три типа элементарных преобразований строк:

  • перестановка \(R_i \leftrightarrow R_j\)
  • умножение строки \(R_i \leftarrow cR_i\), \(c\neq 0\)
  • прибавление \(R_i \leftarrow R_i + cR_j\)

Они эквивалентны исходной системе: множество решений не меняется.

1.11 Структура полного решения

Для согласованной системы, \(\text{rank}(A)=r\), \(n\) неизвестных:

\[ \mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h \]

где:

  • \(\mathbf{x}_p\) — любое частное решение \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) (часто при свободных \(=0\))
  • \(\mathbf{x}_h\) — общее решение однородной системы, линейная комбинация \(n-r\) базисных векторов \(\text{Null}(A)\)

Наглядно: \(\mathbf{x}_p\) «ведёт к \(\mathbf{b}\)», \(\mathbf{x}_h\) «остаётся в нуле»; \(A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h)=\mathbf{b}\).

Null space (ядро / kernel) \(\text{Null}(A)\):

\[ \text{Null}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\} \]

Это подпространство \(\mathbb{R}^n\); \(\dim\text{Null}(A)=n-r\) — число свободных параметров. При \(\text{rank}(A)=n\) ядро тривиально ⇒ решение единственно; при \(\text{rank}(A)<n\) решений бесконечно много.

1.12 Недоопределённые и переопределённые системы

Недоопределённая: \(n>m\); если согласована, то \(\text{rank}(A)\le m<n\) ⇒ есть свободные ⇒ бесконечно много решений.

Переопределённая: \(m>n\); может быть согласована, но «типично» для случайного \(\mathbf{b}\) — несогласованность из-за лишних ограничений.

1.13 Системы с параметром

После приведения к ступенчатому виду отслеживают значения параметра, при которых:

  • исчезает pivot (меняется ранг)
  • появляется строка противоречия \([0\cdots 0\mid c]\), \(c\neq 0\)

Тип решения (нет / одно / бесконечно) зависит от параметра.

2. Определения

  • Система линейных уравнений: \(m\) уравнений, \(n\) неизвестных, вид \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\); каждое уравнение — линейная комбинация неизвестных, равная константе.
  • Матрица коэффициентов: \(A \in \mathbb{R}^{m\times n}\) из коэффициентов при неизвестных.
  • Расширенная матрица: \([A|\mathbf{b}]\) — к \(A\) дописан столбец \(\mathbf{b}\).
  • Согласованная система: есть хотя бы одно решение; эквивалентно \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\).
  • Несогласованная система: решений нет; \(\mathbf{b} \notin \text{Col}(A)\).
  • Ранг: максимальное число линейно независимых строк (или столбцов); равно числу pivot в REF.
  • Pivot: первый ненулевой элемент строки в REF (ведущий элемент).
  • Pivot-столбец: содержит pivot; отвечает базисной неизвестной.
  • Свободная неизвестная: столбец без pivot; параметр из \(\mathbb{R}\).
  • REF: нулевые строки внизу; pivots «сдвинуты вправо»; под pivot — нули.
  • RREF: REF + все pivot равны \(1\) и единственные ненули в своих столбцах.
  • Частное решение \(\mathbf{x}_p\): одно из решений \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) (часто при нулевых свободных).
  • Однородная часть \(\mathbf{x}_h\): общее решение \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\); принадлежит \(\text{Null}(A)\).
  • Null space (ядро): \(\{\mathbf{x}: A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\); подпространство \(\mathbb{R}^n\), размерность \(n-\text{rank}(A)\).
  • Столбцовое пространство: \(\text{Col}(A)\); согласованность \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{b}\in\text{Col}(A)\).
  • Гиперплоскость: множество решений одного линейного уравнения в \(\mathbb{R}^n\), размерность \(n-1\).
  • Недоопределённая система: \(n>m\); при согласованности бесконечно много решений.
  • Обратная подстановка (back substitution): решение «снизу вверх» в треугольной системе.

3. Формулы

  • Матричная форма: \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\), \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\), \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\)
  • Критерий Руше — Капелли: согласованность \(\Leftrightarrow\) \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}])\)
  • Полное решение: \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h\)
  • Rank–Nullity: \(\dim(\text{Null}(A)) = n - \text{rank}(A)\)
  • Классификация:
    • нет решений: \(\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf{b}])\)
    • единственное: \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = n\)
    • бесконечно много: \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) < n\)
  • Размерность ядра: \(\dim(\text{Null}(A)) = n - r\), \(r=\text{rank}(A)\)
  • Оценка ранга: \(\text{rank}(A) \le \min(m, n)\)
  • Квадратная система: для любого \(\mathbf{b}\) единственное решение \(\Leftrightarrow\) \(\det(A)\neq 0\)

4. Примеры

4.1. Разрешимость системы трёх прямых (Лаба 1, Задание 1)

Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y = 2 \\ x - y = 2 \\ y = 1 \end{cases} \]

Часть (a): Набросайте эти три прямые и определите, есть ли у системы решение. Часть (b): Что получится, если все элементы в правых частях равны нулю? Часть (c): Можно ли подобрать правые части так, чтобы три прямые пересекались в одной точке?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Система из трёх линейных уравнений с двумя неизвестными задаёт три прямые на плоскости. Они могут пересекаться в одной точке (единственное решение), не иметь общей точки (несогласованная система) или проходить через одну и ту же бесконечную совокупность точек (бесконечно много решений).

(a) Чертеж и разрешимость: Первые две прямые \(x + 2y = 2\) и \(x - y = 2\) пересекаются в одной точке. Третья прямая \(y = 1\) в общем случае не проходит через ту же точку, поэтому тройка прямых может образовывать «треугольник» без общей точки. Данная система несогласованна (решений нет).

(b) Нулевые правые части: 1. Если все правые части нули: \(x + 2y = 0\), \(x - y = 0\), \(y = 0\) 2. Все три прямые проходят через начало координат \((0, 0)\) 3. Система имеет решение в начале координат.

(c) Условие общей точки: Чтобы три прямые имели одну общую точку, система должна быть согласована: правые части должны быть согласованы с матрицей коэффициентов. Например, если третье уравнение заменить на \(y = 0\) (вместо \(y = 1\)), то из \(x + 2y = 0\), \(x - y = 0\) и \(y = 0\) получаем \((x, y) = (0, 0)\).

Ответ: (a) Система несогласованна (нет общей точки); (b) все прямые проходят через \((0, 0)\); (c) да, например, изменив третье уравнение на \(y = 0\) и согласовав остальные правые части.

4.2. Несогласованность и ранг (Лаба 1, Задание 2)

Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} u + v + w = 2 \\ u + 2v + 3w = 1 \\ v + 2w = 0 \end{cases} \]

Часть (a): Объясните, почему система вырождена (singular), указав линейную комбинацию трёх уравнений, дающую \(0 = 1\). Часть (b): Какое число должно стоять вместо \(0\) в правой части третьего уравнения, чтобы система имела решение? Часть (c): Назовите одно из решений.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Если элементарные преобразования строк приводят к противоречию вида \(0 = 1\), система несогласованна. Подбор правой части может восстановить согласованность.

(a) Противоречие: 1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}\] 2. \(R_2 - R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}\] 3. \(R_3 - R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{bmatrix}\] 4. Третья строка — уравнение \(0 = 1\), противоречие; система несогласованна.

(b) Исправление правой части: Если в третьем уравнении заменить \(0\) на \(-1\) (то есть \(v + 2w = -1\)), получаем \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \end{bmatrix}\] После приведения третья строка обнуляется — система согласована.

(c) Решение при исправленной правой части:

  • \(v + 2w = -1\), значит \(v = -1 - 2w\)
  • \(u + v + w = 2\), откуда \(u + (-1 - 2w) + w = 2\) и \(u = 3 + w\)

При \(w = 0\): \((u, v, w) = (3, -1, 0)\)

Ответ: (a) строка \(0 = 1\) после исключения; (b) в третьем уравнении справа должно быть \(-1\); (c) одно решение: \((3, -1, 0)\).

4.3. Линейные комбинации и обратная подстановка (Лаба 1, Задание 3)

С какими коэффициентами \(x,y,z,t\) линейная комбинация \((1, 0, 0, 0)\), \((1, 1, 0, 0)\), \((1, 1, 1, 0)\) и \((1, 1, 1, 1)\) даёт \((3, 3, 3, 2)\)? Какую систему уравнений для \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) вы при этом решаете?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Поиск линейной комбинации столбцов — это то же самое, что решение системы \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), где столбцы \(A\) — заданные векторы.

  1. Постановка: Ищем \(x, y, z, t\) такие, что \[x\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\]
  2. Система: \[\begin{cases} x + y + z + t = 3 \\ y + z + t = 3 \\ z + t = 3 \\ t = 2 \end{cases}\]
  3. Матричная форма: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\]
  4. Обратная подстановка:
    • из 4-го: \(t = 2\)
    • из 3-го: \(z + 2 = 3 \Rightarrow z = 1\)
    • из 2-го: \(y + 1 + 2 = 3 \Rightarrow y = 0\)
    • из 1-го: \(x + 0 + 1 + 2 = 3 \Rightarrow x = 0\)

Ответ: \((x, y, z, t) = (0, 0, 1, 2)\)

4.4. Исключение Гаусса до верхнетреугольного вида (Лаба 1, Задание 4)

Приведите систему к верхнетреугольному виду элементарными преобразованиями строк: \[ \begin{cases} 2x + 3y + z = 8 \\ 4x + 7y + 5z = 20 \\ -2y + 2z = 0 \end{cases} \]

Обведите главные элементы (pivots). Найдите \(x\), \(y\), \(z\) обратной подстановкой.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Исключение Гаусса обнуляет элементы под pivots и даёт верхнетреугольный вид (REF), после чего удобна обратная подстановка.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 8 \\ 4 & 7 & 5 & | & 20 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}\]

  2. \(R_2 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & 4 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}\]

    Первый pivot: \(\boxed{2}\) (позиция \((1,1)\))

  3. \(R_3 + 2R_2\): \[\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 8 & | & 8 \end{bmatrix}\]

    Второй pivot: \(\boxed{1}\) (позиция \((2,2)\)) Третий pivot: \(\boxed{8}\) (позиция \((3,3)\))

  4. Обратная подстановка:

    • \(8z = 8 \Rightarrow z = 1\)
    • \(y + 3(1) = 4 \Rightarrow y = 1\)
    • \(2x + 3(1) + 1 = 8 \Rightarrow x = 2\)

Ответ: \((x, y, z) = (2, 1, 1)\)

4.5. Параметр: перестановка строк и отсутствие pivot (Лаба 1, Задание 5)

Для системы \[ \begin{cases} x + by = 0 \\ x - 2y - z = 0 \\ y + z = 0 \end{cases} \]

Часть (a): При каком \(b\) потребуется перестановка строк (row exchange)? Часть (b): При каком \(b\) исчезает третий pivot (вырожденный случай)? Часть (c): В вырожденном случае найдите ненулевое решение \((x,y,z)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Значения параметра, при которых обнуляется pivot, меняют ранг; может понадобиться перестановка строк; для однородной системы возможно бесконечно много решений.

(a) Перестановка при \(b = -2\): 1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & 0 \\ 1 & -2 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}\] 2. \(R_2 - R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}\] 3. Во 2-й строке ноль во 2-м столбце — меняем \(R_2\) и \(R_3\) местами: \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix}\]

Ответ (a): \(b = -2\)

(b) Нет третьего pivot при \(b = -1\): 1. \[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 \\ 1 & -2 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}\] 2. \(R_2 - R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}\] 3. \(R_3 + R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]

В 3-м столбце нет pivot — \(z\) свободная.

Ответ (b): \(b = -1\)

(c) Ненулевое решение при \(b = -1\): 1. \(y + z = 0\) 2. \(x - y = 0\) 3. Положим \(z = 1\): \(y = -1\), \(x = -1\)

Ответ: \((x, y, z) = (-1, -1, 1)\) или любое ненулевое кратное, например \((1, 1, -1)\)

4.6. Зависимые строки и структура решения (Лаба 1, Задание 6)

Постройте пример \(3\times 3\) с девятью различными коэффициентами слева, у которого при исключении 2-я и 3-я строки обнуляются.

Часть (a): Сколько решений у вашей системы при \(b = (1, 10, 100)\)? Часть (b): Сколько при \(b = (0, 0, 0)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Если строки линейно зависимы (пропорциональны), согласованность и число решений определяются рангом расширенной матрицы.

(a) Построение и анализ при \(b = (1, 10, 100)\):

  1. Система с пропорциональными строками: \[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ 4a & 4b & 4c \\ 5a & 5b & 5c \end{bmatrix}\]

    2-я и 3-я строки — кратные первой.

  2. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} a & b & c & | & 1 \\ 4a & 4b & 4c & | & 10 \\ 5a & 5b & 5c & | & 100 \end{bmatrix}\]

  3. \(R_2 - 4R_1\), \(R_3 - 5R_1\): \[\begin{bmatrix} a & b & c & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 6 \\ 0 & 0 & 0 & | & 95 \end{bmatrix}\]

  4. Строки 2 и 3 — противоречия (\(0 = 6\) и \(0 = 95\)); система несогласованна.

Ответ (a): решений нет

(b) При \(b = (0, 0, 0)\):

  1. \[\begin{bmatrix} a & b & c & | & 0 \\ 4a & 4b & 4c & | & 0 \\ 5a & 5b & 5c & | & 0 \end{bmatrix}\]
  2. После исключения: \[\begin{bmatrix} a & b & c & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]
  3. Остаётся одно независимое уравнение \(ax + by + cz = 0\); \(n - r = 3 - 1 = 2\) свободных переменных.
  4. \(z = -\frac{1}{c}(ax + by)\) (при \(c \neq 0\))
  5. Общее решение: \((x, y, z) = \left(x, y, -\frac{1}{c}(ax + by)\right)\) для любых \(x, y \in \mathbb{R}\)

Ответ (b): бесконечно много решений (двумерное семейство)

4.7. Две системы 3×3 (Лаба 1, Задание 7)

Решите исключением обе системы:

Система 1: \[ \begin{cases} u + v + w = 6 \\ u + 2v + 2w = 11 \\ 2u + 3v - 4w = 3 \end{cases} \]

Система 2: \[ \begin{cases} u + v + w = 7 \\ u + 2v + 2w = 10 \\ 2u + 3v - 4w = 3 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Матрица коэффициентов одна и та же, отличаются только правые части; последовательность операций над строками та же.

Система 1:

  1. \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 2 & | & 11 \\ 2 & 3 & -4 & | & 3 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - R_1\), \(R_3 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -6 & | & -9 \end{bmatrix}\]
  3. \(R_3 - R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 0 & -7 & | & -14 \end{bmatrix}\]
  4. Обратная подстановка:
    • \(-7w = -14 \Rightarrow w = 2\)
    • \(v + 2 = 5 \Rightarrow v = 3\)
    • \(u + 3 + 2 = 6 \Rightarrow u = 1\)

Ответ (система 1): \((u, v, w) = (1, 3, 2)\)

Система 2:

  1. \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 7 \\ 1 & 2 & 2 & | & 10 \\ 2 & 3 & -4 & | & 3 \end{bmatrix}\]
  2. Те же операции, что для системы 1: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 7 \\ 0 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & -7 & | & -14 \end{bmatrix}\]
  3. Обратная подстановка:
    • \(w = 2\)
    • \(v = 1\)
    • \(u = 4\)

Ответ (система 2): \((u, v, w) = (4, 1, 2)\)

4.8. Система с параметром: классификация решений (Домашнее задание 1, Задание 1)

Для каких значений \(k\) система имеет: 1. единственное решение; 2. ни одного решения; 3. бесконечно много решений?

\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ kx + (k + 1)y + (k + 2)z = k \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Число решений определяется рангами матрицы коэффициентов и расширенной матрицы в зависимости от параметра.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 2 & 4 & 6 & | & 2 \\ k & k+1 & k+2 & | & k \end{bmatrix}\]

  2. Первые два уравнения: строка 2 есть \(2 \times\) строка 1, после \(R_2 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ k & k+1 & k+2 & | & k \end{bmatrix}\]

  3. Строка 3: \(R_3 - kR_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & (k+1) - 2k & (k+2) - 3k & | & k - k \end{bmatrix}\]

    Упрощая 3-ю строку: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 - k & 2 - 2k & | & 0 \end{bmatrix}\]

  4. Разбор случаев:

    Случай \(k = 1\) \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\] Остаётся одно независимое уравнение; \(\text{rank}(A) = 1 < n = 3\). Бесконечно много решений (две свободные переменные).

    Случай \(k \neq 1\) Третья строка: \((1-k)y + (2-2k)z = 0\), то есть \((1-k)(y + 2z) = 0\).

    Так как \(1 - k \neq 0\), получаем \(y + 2z = 0\) — ещё одно независимое ограничение.

    \(\text{rank}(A) = 2 = \text{rank}([A|b])\), \(n = 3\). Бесконечно много решений (одна свободная переменная): вторая строка нулевая, правые части согласованы.

Исходная система: \[\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ kx + (k+1)y + (k+2)z = k \end{cases}\]

Строка 2 = \(2 \times\) строка 1 — первые два уравнения зависимы.

После \(R_2 - 2R_1\) и анализа 3-й строки:

  • \(R_3 - kR_1\): \((1 - k)y + (2 - 2k)z = 0\)

При \(k = 1\): третья строка \(0 = 0\) — бесконечно много решений.

При \(k \neq 1\): делим на \((1-k)\), \(y + 2z = 0\) — снова бесконечно много решений (одна свободная).

Правые части всегда согласованы — решения есть при любом \(k\).

Ответ:

  • Единственное решение: никогда (первые два уравнения зависимы)
  • Нет решений: никогда (система всегда согласована)
  • Бесконечно много решений: при любом \(k\) (при \(k=1\) ранг \(1\), две свободные; при \(k\neq 1\) ранг \(2\), одна свободная)
4.9. Недоопределённая система: несколько свободных (Домашнее задание 1, Задание 2)

Решите систему: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 = 2 \\ 3x_1 + 6x_2 + 9x_3 + 12x_4 + 15x_5 = 3 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Недоопределённая система (3 уравнения, 5 неизвестных); все строки пропорциональны — фактически одно ограничение и четыре свободные переменные.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & | & 2 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & | & 3 \end{bmatrix}\]

  2. Пропорциональность:

    • строка 2 = \(2 \times\) строка 1
    • строка 3 = \(3 \times\) строка 1

    Все три строки задают одно и то же ограничение.

  3. После приведения: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]

    Остаётся: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = 1\)

  4. Pivot и свободные:

    • pivot-столбец: 1 (\(x_1\))
    • свободные столбцы: 2–5 (\(x_2, x_3, x_4, x_5\))
    • число свободных: \(5 - 1 = 4\)

  5. Общее решение: \(x_2 = s\), \(x_3 = t\), \(x_4 = u\), \(x_5 = v\).

    Тогда \(x_1 = 1 - 2s - 3t - 4u - 5v\)

Ответ: общее решение \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 - 2s - 3t - 4u - 5v \\ s \\ t \\ u \\ v \end{bmatrix}, \quad s, t, u, v \in \mathbb{R}\]

Эквивалентно: \((x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (1 - 2s - 3t - 4u - 5v, s, t, u, v)\).

Частное решение (все свободные нули): \((1, 0, 0, 0, 0)\)

4.10. Переопределённая система 4×4 (Домашнее задание 1, Задание 3)

Решите систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 1 \\ x_1 + 3x_2 + 6x_3 + 10x_4 = 3 \\ x_1 + 4x_2 + 10x_3 + 20x_4 = 6 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Четыре уравнения с четырьмя неизвестными; приведение строк покажет согласованность.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & | & 1 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & | & 3 \\ 1 & 4 & 10 & 20 & | & 6 \end{bmatrix}\]
  2. Вычитаем строку 1 из строк 2–4: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 9 & | & 3 \\ 0 & 3 & 9 & 19 & | & 6 \end{bmatrix}\]
  3. \(R_3 - 2R_2\), \(R_4 - 3R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 10 & | & 3 \end{bmatrix}\]
  4. \(R_4 - 3R_3\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}\]
  5. Обратная подстановка:
    • строка 4: \(x_4 = 0\)
    • строка 3: \(x_3 = 1\)
    • строка 2: \(x_2 = -1\)
    • строка 1: \(x_1 = 0\)

Ответ: \((x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, -1, 1, 0)\)

4.11. Система с матрицей ранга 1 (Домашнее задание 1, Задание 4)

Найдите полное решение: \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 30 \\ 40 \end{bmatrix} \]

(Замечание: \(\text{rank}(A)=1\).)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: При ранге 1 все строки кратны одной; система эквивалентна одному уравнению с несколькими свободными переменными.

  1. Структура строк:

    • строка 2 = \(2 \times\) строка 1
    • строка 3 = \(3 \times\) строка 1
    • строка 4 = \(4 \times\) строка 1

    Правая часть: \((20, 30, 40) = (2 \times 10, 3 \times 10, 4 \times 10)\) — система согласованна.

  2. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & | & 20 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & | & 30 \\ 4 & 8 & 12 & 16 & | & 40 \end{bmatrix}\]

  3. После приведения: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]

  4. Ограничение: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 10\)

  5. Теорема о ранге и дефекте: \(\text{rank}(A) = 1\), \(\dim(\text{Null}(A)) = 3\) — три свободных параметра в полном решении.

  6. Частное: \(x_2 = x_3 = x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = 10\), \(\mathbf{x}_p = (10, 0, 0, 0)\)

  7. Ядро: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0\)

    \((-2, 1, 0, 0)\), \((-3, 0, 1, 0)\), \((-4, 0, 0, 1)\) — базис \(\text{Null}(A)\)

Ответ: полное решение \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + u\begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad s, t, u \in \mathbb{R}\]

4.12. Недоопределённая система: 3 уравнения, 4 неизвестные (Домашнее задание 1, Задание 5)

Решите недоопределённую систему (\(m = 3\) уравнения, \(n = 4\) неизвестные): \[ \begin{cases} x + 2y + 3z + 4w = 5 \\ 2x + 4y + 6z + 8w = 10 \\ 3x + 5y + 7z + 9w = 12 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Неизвестных больше, чем независимых уравнений; решения параметризуются свободными переменными.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & | & 10 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & | & 12 \end{bmatrix}\]

  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 - 3R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -3 \end{bmatrix}\]

  3. Переставим строки (3-ю вверх): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]

  4. Делим 2-ю строку на \(-1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]

  5. Pivot: столбцы 1 и 2 (\(x,y\)); свободные: \(z,w\). Ранг \(r = 2\), свободных \(4-2=2\).

  6. Обратная подстановка: \(z = s\), \(w = t\).

    Строка 2: \(y = 3 - 2s - 3t\)

    Строка 1: \(x + 2(3 - 2s - 3t) + 3s + 4t = 5 \Rightarrow x = s + 2t - 1\)

Ответ: общее решение \[(x, y, z, w) = (s + 2t - 1, 3 - 2s - 3t, s, t), \quad s, t \in \mathbb{R}\]

В векторной форме: \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

4.13. Параметрическая система: тип решения от параметров (Домашнее задание 1, Задание 6)

При каких \(a, b, c\) система имеет: 1. ни одного решения? 2. единственное решение? 3. бесконечно много решений?

\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ 2x + 5y + 8z = b \\ 3x + 8y + 13z = c \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Сравниваем ранги \(A\) и \([A|\mathbf{b}]\) после приведения.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & a \\ 2 & 5 & 8 & | & b \\ 3 & 8 & 13 & | & c \end{bmatrix}\]

  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 - 3R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & a \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 2a \\ 0 & 2 & 4 & | & c - 3a \end{bmatrix}\]

  3. \(R_3 - 2R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & a \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 2a \\ 0 & 0 & 0 & | & (c - 3a) - 2(b - 2a) \end{bmatrix}\]

    Правая часть 3-й строки: \(c + a - 2b\)

  4. Итог: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & a \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 2a \\ 0 & 0 & 0 & | & c + a - 2b \end{bmatrix}\]

  5. Случаи:

    Нет решений: \(\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf{b}])\)

    У \(A\) ранг не больше 2 (третья строка \(A\) занулена); расширенная матрица получит ранг 3, если справа в 3-й строке ненуль.

    Условие: \(c + a - 2b \neq 0\), т.е. \(c \neq 2b - a\)

    Единственное решение: нужно \(\text{rank}(A)=\text{rank}([A|\mathbf{b}])=3\), но \(\text{rank}(A)=2\) всегда — никогда.

    Бесконечно много решений: \(\text{rank}(A)=\text{rank}([A|\mathbf{b}])<3\), т.е. \(c + a - 2b = 0\) и \(\text{rank}(A)=2\)

    Условие: \(c = 2b - a\)

Итог:

  • Нет решений: \(c \neq 2b - a\)
  • Единственное: невозможно
  • Бесконечно много: \(c = 2b - a\)
4.14. Решение системы через REF (Туториал 1, Пример 1)

Решите в форме REF (Row Echelon Form): \[ \begin{cases} 2x + 4y - 2z = 2 \\ 4x + 9y - 3z = 8 \\ -2x - 3y + 7z = 10 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: REF — промежуточный вид (pivot не обязан быть 1), удобный для обратной подстановки.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 & | & 2 \\ 4 & 9 & -3 & | & 8 \\ -2 & -3 & 7 & | & 10 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 + R_1\): \[\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & 5 & | & 12 \end{bmatrix}\]
  3. \(R_3 - R_2\): \[\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 0 & 4 & | & 8 \end{bmatrix}\]
  4. Обратная подстановка:
    • \(4z = 8 \Rightarrow z = 2\)
    • \(y + 2 = 4 \Rightarrow y = 2\)
    • \(2x + 4(2) - 2(2) = 2 \Rightarrow x = -1\)

Ответ: \((x, y, z) = (-1, 2, 2)\)

4.15. Решение системы через RREF (Туториал 1, Пример 2)

Решите в форме RREF (Reduced Row Echelon Form): \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ 3x + y - z = 3 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: В RREF каждый pivot равен 1 и единственный ненуль в своём столбце — решение можно «считать» без обратной подстановки.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 9 \\ 2 & -1 & 1 & | & 8 \\ 3 & 1 & -1 & | & 3 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 - 3R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 9 \\ 0 & -5 & -5 & | & -10 \\ 0 & -5 & -10 & | & -24 \end{bmatrix}\]
  3. Строка 2 делится на \(-5\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -5 & -10 & | & -24 \end{bmatrix}\]
  4. \(R_3 + 5R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -5 & | & -14 \end{bmatrix}\]
  5. (Промежуточно можно записать \(z = 14/5\) из третьей строки.)

Из туториала (данный RREF): \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix}\]

Чтение с RREF: \[\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \\ z = 3 \end{cases}\]

Ответ: \((x, y, z) = (2, -1, 3)\)

4.16. Недоопределённая система: 2 уравнения, 4 неизвестные (Туториал 1, Пример 3)

Решите: \[ \begin{cases} x + 2y - z + 3w = 5 \\ 2x + 4y - 2z + 7w = 12 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Два уравнения и четыре неизвестные при полном ранге 2 дают \(4-2=2\) свободные переменные.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & | & 5 \\ 2 & 4 & -2 & 7 & | & 12 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}\]
  3. RREF (после \(R_1 - 3R_2\)): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}\]
  4. Отсюда:
    • \(w = 2\)
    • \(x + 2y - z = -1\), значит \(x = -1 - 2y + z\)
  5. Свободные: \(y = s\), \(z = t\)

Ответ: \[(x, y, z, w) = (-1 - 2s + t, s, t, 2), \quad s, t \in \mathbb{R}\]

4.17. Недоопределённая система: 3 уравнения, 5 неизвестных (Туториал 1, Пример 4)

Решите: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 + 5x_5 = 10 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 = 20 \\ 3x_1 + 5x_2 + 7x_3 + 9x_4 + 11x_5 = 30 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Независимых уравнений не больше трёх, свободных неизвестных — не меньше двух.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 10 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & | & 20 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & | & 30 \end{bmatrix}\]
  2. Строка 2 = \(2 \times\) строка 1, \(R_2 - 2R_1\) даёт нули.
  3. \(R_3 - 3R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & | & 0 \end{bmatrix}\]
  4. RREF после перестановки/исключения: \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}\]
  5. \(x_1 = x_3 + 2x_4 + 3x_5\), \(x_2 = 5 - 2x_3 - 3x_4 - 4x_5\), свободные \(x_3 = s\), \(x_4 = t\), \(x_5 = u\)

Ответ: \[(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (s + 2t + 3u, 5 - 2s - 3t - 4u, s, t, u), \quad s, t, u \in \mathbb{R}\]

4.18. Обнаружение несогласованной системы (Туториал 1, Пример 5)

Решите или установите несогласованность: \[ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 3 \\ 3x + 3y + 3z = 4 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Если строки коэффициентов пропорциональны, а правые части — нет, система несогласованна.

  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 3 \\ 3 & 3 & 3 & | & 4 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 - 3R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{bmatrix}\]
  3. Вторая строка: \(0 = 1\) — невозможно.

Ответ: система несогласованна (решений нет).

4.19. Решение через REF (Туториал 1, Пример 6)

Решите в форме REF: \[ \begin{cases} 3x - 2y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \\ 2x - y + 3z = 9 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & | & 7 \\ 1 & 1 & -2 & | & -2 \\ 2 & -1 & 3 & | & 9 \end{bmatrix}\]
  2. Перестановка \(R_1 \leftrightarrow R_2\) (ведущая 1): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & -2 \\ 3 & -2 & 1 & | & 7 \\ 2 & -1 & 3 & | & 9 \end{bmatrix}\]
  3. \(R_2 - 3R_1\), \(R_3 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & -5 & 7 & | & 13 \\ 0 & -3 & 7 & | & 13 \end{bmatrix}\]
  4. \(R_3 - (3/5)R_2\): \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & -2 \\ 0 & -5 & 7 & | & 13 \\ 0 & 0 & 14/5 & | & 26/5 \end{bmatrix}\]
  5. Обратная подстановка:
    • \((14/5)z = 26/5 \Rightarrow z = 13/7\)
    • \(-5y + 7(13/7) = 13 \Rightarrow y = 0\)
    • \(x - 2(13/7) = -2 \Rightarrow x = 12/7\)

Ответ: \((x, y, z) = (12/7, 0, 13/7)\), приближённо \((1{,}71, 0, 1{,}86)\)

4.20. Пересечение трёх гиперплоскостей (Туториал 1, Задание 1)

Опишите пересечение трёх гиперплоскостей в \(\mathbb{R}^4\): \[ \begin{cases} u + v + w + z = 6 \\ u + w + z = 4 \\ u + w = 2 \end{cases} \]

Часть (a): Это прямая, точка или пустое множество? Часть (b): Чем станет пересечение, если добавить четвёртую гиперплоскость \(u = -1\)? Часть (c): Приведите четвёртое уравнение, после которого решений не будет.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Размерность множества решений равна \(n - r\), где \(r\) — ранг.

(a)

    1. − (1): \(v = 2\); (3) − (2): \(z = 2\); из (3): \(u + w = 2\).
  2. \(v = 2\), \(z = 2\), \(u + w = 2\).
  3. Параметр \(w = t\), тогда \(u = 2 - t\).
  4. \((u, v, w, z) = (2 - t, 2, t, 2)\), \(t \in \mathbb{R}\) — прямая в \(\mathbb{R}^4\).

(b) С \(u = -1\): \(2 - t = -1 \Rightarrow t = 3\), \(w = 3\), единственная точка \((-1, 2, 3, 2)\).

(c) Любое уравнение, противоречащее семейству решений, например \(u + v + w + z = 7\) (сумма всегда \(6\)), или \(v = 3\), или \(z = 3\).

Ответ: (a) прямая; (b) точка \((-1, 2, 3, 2)\); (c) например \(u + v + w + z = 7\).

4.21. Другое решение через столбцовую картину (Туториал 1, Задание 2)

При \(\mathbf{b} = (2, 5, 7)\) найдите решение \((u, v, w)\) векторного уравнения, отличное от \((1, 0, 1)\): \[u\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: При вырожденной матрице решение неединственно: к частному решению добавляют решения однородной системы.

  1. Система: \[\begin{cases} u + v + w = 2 & (1) \\ 2u + 3w = 5 & (2) \\ 3u + v + 4w = 7 & (3) \end{cases}\]
  2. Зависимость: \((1) + (2)\) даёт левую часть \((3)\), правая часть \(2 + 5 = 7\) — уравнения зависимы, матрица singular.
  3. Однородное: \((1) + (2) - (3) = 0\) ⇒ вектор \((-1, 2, -1)\) в \(\text{Null}(A)\).
  4. Общее решение: \((u, v, w) = (1, 0, 1) + t(-1, 2, -1) = (1 - t, 2t, 1 - t)\).
  5. При \(t = 1\): \((0, 2, 0)\).

Ответ: общее решение \((u, v, w) = (1 - t, 2t, 1 - t)\); другое частное, например \((0, 2, 0)\) при \(t = 1\).

4.22. Линейная зависимость и null space (Туториал 1, Задание 3)

Покажите, что три столбца лежат в одной плоскости, выразив третий столбец через первые два. Найдите все \((u, v, w)\) для \[u\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Линейная зависимость столбцов; \(\text{Null}(A)\) — все решения \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

  1. Ищем \(\alpha, \beta\): \[\alpha\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}\]
  2. \[\begin{cases} \alpha + \beta = 1 \\ \alpha + 2\beta = 3 \\ \beta = 2 \end{cases}\]
  3. \(\beta = 2\), \(\alpha = -1\), проверка: \(-1 + 4 = 3\).
  4. \[-1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \mathbf{0}\] Вектор коэффициентов \((-1, 2, -1)\) лежит в \(\text{Null}(A)\).
  5. Размерность ядра 1: \((u, v, w) = t(-1, 2, -1)\).

Ответ: (a) \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\); (b) все решения \((u, v, w) = t(-1, 2, -1)\), \(t \in \mathbb{R}\).

4.23. Условие коллинеарности (Туториал 1, Задание 4)

При каком условии на \(y_1, y_2, y_3\) точки \((0, y_1)\), \((1, y_2)\), \((2, y_3)\) лежат на одной прямой?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Три точки коллинеарны, если удовлетворяют одной прямой \(y = mx + c\).

  1. \(y_1 = c\), \(y_2 = m + c\), \(y_3 = 2m + c\).
  2. \(c = y_1\), \(m = y_2 - y_1\), подстановка в \(y_3\): \(y_3 = 2y_2 - y_1\).
  3. Эквивалентно \(2y_2 - y_1 - y_3 = 0\) или \(y_1 - 2y_2 + y_3 = 0\).

Ответ: \[\boxed{2y_2 = y_1 + y_3}\] или \[\boxed{2y_2 - y_1 - y_3 = 0}\]

4.24. Пересечение двух плоскостей: точки на прямой (Туториал 1, Задание 5)

Найдите точку с \(z = 2\) на прямой пересечения плоскостей \(x + y + 3z = 6\) и \(x - y + z = 4\), точку с \(z = 0\) и середину отрезка между ними.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Пересечение двух непараллельных плоскостей в \(\mathbb{R}^3\) — прямая; фиксируем \(z\) и решаем \(2 \times 2\).

(a) \(z = 2\): \(x + y = 0\), \(x - y = 2\) ⇒ \(x = 1\), \(y = -1\); точка \((1, -1, 2)\).

(b) \(z = 0\): \(x + y = 6\), \(x - y = 4\) ⇒ \(x = 5\), \(y = 1\); точка \((5, 1, 0)\).

(c) Середина между \((1, -1, 2)\) и \((5, 1, 0)\): \((3, 0, 1)\).

Ответ: \((1, -1, 2)\); \((5, 1, 0)\); середина \((3, 0, 1)\).

4.25. Сразу из столбцовой картины (Туториал 1, Задание 6)

В уравнении ниже третий столбец (множитель у \(w\)) совпадает с правой частью \(\mathbf{b}\). Какое решение \((u, v, w)\) это сразу даёт?

\[u\begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} 7 \\ 5 \\ -2 \end{bmatrix} + w\begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 9 \\ 7 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Если столбец равен \(\mathbf{b}\), берём коэффициент \(1\) у этого столбца и \(0\) у остальных.

Третий столбец и \(\mathbf{b}\) совпадают ⇒ \(u = 0\), \(v = 0\), \(w = 1\).

Ответ: \((u, v, w) = (0, 0, 1)\)

4.26. Исключение и обратная подстановка с нулём (Туториал 1, Задание 7)

Проведите исключение (обведите pivots) и решите обратной подстановкой: \[ \begin{cases} 2x - 3y = 3 \\ 4x - 5y + z = 7 \\ 2x - y - 3z = 5 \end{cases} \]

Нажмите, чтобы увидеть решение

  1. \[\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & | & 3 \\ 4 & -5 & 1 & | & 7 \\ 2 & -1 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}\]

  2. \(R_2 - 2R_1\), \(R_3 - R_1\): \[\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 2 & -3 & | & 2 \end{bmatrix}\]

    Pivots: \(\boxed{2}\), \(\boxed{1}\)

  3. \(R_3 - 2R_2\): \[\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -5 & | & 0 \end{bmatrix}\]

    Третий pivot: \(\boxed{-5}\)

  4. \(z = 0\), \(y = 1\), \(x = 3\)

Ответ: \((x, y, z) = (3, 1, 0)\)

4.27. Параметр: перестановка строк и вырождение (Туториал 1, Задание 8)

Для системы с параметром \(d\): \[ \begin{cases} 2x + 5y + z = 0 \\ 4x + dy + z = 2 \\ y - z = 3 \end{cases} \]

Часть (a): при каком \(d\) нужна перестановка строк? Часть (b): при каком \(d\) нет третьего pivot (вырождение)?

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. \[\begin{bmatrix} 2 & 5 & 1 & | & 0 \\ 4 & d & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & | & 3 \end{bmatrix}\]
  2. \(R_2 - 2R_1\): \[\begin{bmatrix} 2 & 5 & 1 & | & 0 \\ 0 & d - 10 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -1 & | & 3 \end{bmatrix}\]

(a) Второй pivot обнуляется при \(d - 10 = 0\), т.е. \(d = 10\); тогда \(R_2 \leftrightarrow R_3\).

Ответ (a): \(d = 10\)

(b) При \(d - 10 = 1\), т.е. \(d = 11\), строки 2 и 3 после исключения пропорциональны, появляется \(0 = 1\) — несогласованность, третьего pivot нет.

Ответ (b): \(d = 11\)

4.28. Построение систем с перестановками строк (Туториал 1, Задание 9)

Часть (a): постройте систему \(3 \times 3\), которой для треугольного вида нужны две перестановки строк, и найдите решение. Часть (b): постройте систему, где перестановка нужна, но затем возникает противоречие.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Главная идея: Нули на позициях pivot вынуждают перестановки; несогласованность — строка \(0 \mid c\), \(c \neq 0\).

(a) Пример: \[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \\ 1 & 1 & 1 & | & 5 \end{bmatrix}\] \(R_1 \leftrightarrow R_3\), затем \(R_2 \leftrightarrow R_3\) ⇒ треугольный вид; обратной подстановкой \((x,y,z) = (2, 1, 2)\).

Ответ (a): \((2, 1, 2)\)

(b) Пример: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 1 & 1 & 2 & | & 6 \end{bmatrix}\] \(R_3 - R_1\), перестановка, \(R_3 - R_2\) ⇒ \(0 = 1\).

Ответ (b): противоречие \(0 = 1\).